提醒：本文仅提供证明思路，不提供详细证明过程，若有错误之处请在评论区指正。

(资料图片)

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，而关于椭圆、抛物线和双曲线为什么是“圆锥曲线”这一问题困扰了我很久，直到我看到@3Blue1Brown的视频【【官方双语】数学天赋是什么样的？它从何而来？（丹迪林双球）】 /video/BV1Ks411G7kN/?share_source=copy_web&vd_source=c58d92445735d40976e167e434474482给出了关于椭圆是“圆锥曲线”的证明，我豁然开朗，于是根据以上视频的方法找出了抛物线和双曲线的证明思路。

双曲线

首先作两个相互倒立的圆锥，在不过轴心的任意位置竖直做一个平面与两个圆锥分别相交；在两个圆锥内都作一个同时与圆锥和平面相切的球，球心分别记作O、K；球O与下圆锥的切圆记作⊙O¹，与平面的交点记作M；球K与上圆锥的切圆记作⊙K¹，与平面的交点记作M¹；在平面与下圆锥的相交曲线上作一点A，作直线AP交⊙O¹于B，交⊙K¹于C；连接AM、AM¹。

∵平面与球K相切∴AM¹与球K相切

∵球K与上圆锥相切∴AC与球K相切

∴AC=AM¹

同理AM=AB

∴AM¹-AM=AC-AB=BC为定值（曲线任意一点到两焦点距离差的绝对值为定值）

当A点在上圆锥上时同理

∴竖直平面与相互倒立的两个圆锥的相交曲线为双曲线

抛物线

首先作一个圆锥，做一个平行于其中一条母线的平面与圆锥相交；在圆锥内做一个球O与圆锥和平面相切；令球O与平面切于点M，与圆锥的切圆为⊙O¹；在圆锥外作与球O半径相等的水平圆柱O²O³分别与平面切于直线l，易证l与⊙O¹在同一水平面。在平面与下圆锥的相交区线上作一点A，连接AP与⊙O¹交于点B，在直线l上作一点C使AC⊥l，连接AM。

∵平面与球O相切∴AM与球O相切

∵球O与圆锥相切∴AB与球O相切

∴AB=AM

∵平面平行于母线∴平面与水平面所成夹角与AB与水平面所成夹角相等

∵l平行于水平面，AC⊥l∴平面与水平面所成夹角与AC与水平面所成夹角相等

∴AB与水平面的夹角与AC与水平面的夹角相等

∵AB与AC的垂直高度相等∴AB=AC

∴AM=AC（曲线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离）

∴与圆锥母线平行的平面与圆锥的相交曲线为抛物线